| интервал: | [ , ] в Пи |
| подпись: |
| интервал: | [ , ] авто |
| подпись: |
Сервис онлайн построения графиков
Этот сервис создан в помощь школьникам и студентам в изучении математики (алгебры и геометрии) и физики и предназначен для онлайн построения графиков функций (обычных и параметрических) и графиков по точкам (графиков по значениям), а также графиков функций в полярной системе координат.
Просто введите формулу функции в поле "Графики:" и нажмите кнопку "Построить".
Почитайте в cправкe, как правильно вводить формулы функций.
Загляните в раздел примеров, наверняка, там есть графики функций, похожие на то, что нужно Вам, останется только слегка откорректировать готовые формулы функций.
Теория:
Графики любых функций строят по точкам. Но если вид графика заранее неизвестен, эти точки надо выбирать со смыслом — выделять особо важные точки графика, которые определяют его вид.
К особо важным точкам графика функции y = f ( x ) относят:
— стационарные и критические точки;
— точки пересечения графика с осью (x) (нули функции) и с осью (y);
— точки разрыва функции.
Если речь идёт о построении графика незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять определённую схему исследования свойств функции, которая помогает составить представление о её графике. Когда такое представление сложится, можно приступать к построению графика по точкам.
В курсе математического анализа разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения графика функции, позволяющая строить весьма сложные графики. Для наших нужд будут достаточны упрощённые варианты указанной схемы.
1) Если функция y = f ( x ) непрерывна на всей числовой прямой, то достаточно найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать ещё несколько контрольных точек.
2) Если функция y = f ( x ) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции (если область не задана) и с указания её точек разрыва.
3) Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики чётной или нечётной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси (y) или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при (x>0), а затем дорисовать симметричную ветвь.
4) Если lim x → ∞ f ( x ) = b , то, как известно, прямая (y=b) является горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ) . Асимптоту следует строить на координатной плоскости, она даёт своеобразный ориентир для графика.
5) При условии: если x → a , то y → ∞ — прямая (x=a) является вертикальной асимптотой графика функции y = f ( x ) .
построить график функции y = x 2 + 1 x 2 − 1 .
Решение 1. Введём обозначение: f ( x ) = x 2 + 1 x 2 − 1 . Найдём область определения функции. Она задаётся условиями x ≠ 1, x ≠ − 1 . Итак, D ( f ) = ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) .
2. Исследуем функцию на чётность:
f ( − x ) = − x 2 + 1 − x 2 − 1 = x 2 + 1 x 2 − 1 = f ( x ) .
Значит, заданная функция чётна, её график симметричен относительно оси ординат, а потому можно для начала ограничиться построением ветвей графика при x ≥ 0 .
3. Найдём асимптоты. Вертикальной асимптотой является прямая (x=1), поскольку при этом значении (x) знаменатель дроби обращается в нуль, а числитель отличен от нуля. Для отыскания горизонтальной асимптоты надо вычислить lim x → ∞ f ( x ) :
lim x → ∞ x 2 + 1 x 2 − 1 = lim x → ∞ x 2 x 2 + 1 x 2 x 2 x 2 − 1 x 2 = lim x → ∞ 1 + 1 x 2 1 − 1 x 2 = 1 .
Значит, (y=1) — горизонтальная асимптота графика функции.
4. Найдём стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
y ′ = x 2 + 1 x 2 − 1 ′ = ( x 2 + 1 ) ′ ⋅ ( x 2 − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ⋅ ( x 2 − 1 ) ′ x 2 − 1 2 = 2 x ⋅ ( x 2 − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ⋅ 2 x x 2 − 1 2 = = − 4 x x 2 − 1 2 .
Производная существует всюду в области определения функции, значит, критических точек у функции нет.
Стационарные точки найдём из соотношения y ′ = 0 . Получаем: (-4x=0) — откуда находим, что (x=0). При (x y ′ > 0 ; при (x>0) имеем: y ′ 0 . Значит, (x=0) — точка максимума функции, причём y max = f ( 0 ) = 0 2 + 1 0 2 − 1 = − 1 .
При (x>0) имеем: y ′ 0 ; но следует учесть наличие точки разрыва (x=1). Значит, вывод о промежутках монотонности будет выглядеть так: на промежутке 0 ; 1 ) функция убывает, на промежутке ( 1 ; + ∞ ) функция также убывает.
5. Составим таблицу значений функции f ( x ) = x 2 + 1 x 2 − 1 при x ≥ 0 :
Построение графиков онлайн с помощью нашего сервиса является простой задачей. Возможность построения одновременно сразу нескольких функций, помеченных разными цветами. Укажите пределы переменной и функции — и наш сервис быстро нарисует ваш график.
Построение графиков онлайн
Построить функцию
Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos. Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.
Преимущества построения графиков онлайн
- Визуальное отображение вводимых функций
- Построение очень сложных графиков
- Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
- Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
- Управление масштабом, цветом линий
- Возможность построения графиков по точкам, использование констант
- Построение одновременно нескольких графиков функций
- Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ( heta) )
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.