Формула
Формула аргумента комплексного числа $ varphi = arg z $ зависит от полуплоскости, в которой лежит число:
$$ varphi = arctg frac<sqrt<3>> <1>= arctg sqrt <3>= frac<pi> <3>$$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
| Ответ |
| $$ varphi = frac<pi> <3>$$ |
| Пример 2 |
| Найти аргумент числа $$ z = -1 + sqrt<3>i $$ |
| Решение |
Действительная часть $$ a = Re z = -1 $$
Мнимая часть $$ b = Im z = sqrt <3>$$
Так как $ a 0 $, то пользуемся второй формулой:
$$ varphi = arg z = pi + arctg frac<sqrt<3>> <-1>= pi + arctg (-1) = pi — frac<pi> <4>= frac<3pi> <4>$$
АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА 
(обозначается 
) — функция, заданная на множестве отличных от нуля комплексных чисел и принимающая значения в промежутке 
; при этом А. к. ч. 
считается величина угла 
, отсчитываемого от оси 
в положительном (тогда она берется со знаком плюс) или отрицательном (тогда она берется со знаком минус) направлении до луча 
, где 
— начало отсчета, 
— точка, изображающая комплексное число на комплексной плоскости. Часто приходится пользоваться многозначной функцией 
. По определению принимается 
.
Если комплексное число записать в тригонометрической форме:
,
где 
, то величина угла 
.
Комплексное число 0 не имеет определенного А. аналогично тому, как нулевой вектор не имеет определенного направления.
Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов множителей (сомножителей): 
.
А. к. ч. иначе называется величиной полярного угла точки, изображающей комплексное число на комплексной плоскости.
 |
Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + b · i обозначается | a + b · i |, а также буквой r. Из чертежа видно, что:
Модуль действительного числа, совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + b · i и a — b · i имеют один и тотже модуль.
Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + b · i , называется аргументом комплексного числа a + b · i
Каждое не равное нулю комплексное число имеет бесчисленное множество аргументов, отлючающихся друг от друга на целое число полных оборотов (т.е. на 360°·k, где k — любое целое число). Аргумент комплексного числа связан с его координатами следующими формулами:
Однако ни одна из этих формул в отдельности не позволяет найти аргумент. Для того чтобы найти аргумент комплексного числа, эти формулы надо использовать в совокупности, а также учитывать номер четверти, на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.
